Lubang-hitam dalam matematika

Barangkali Anda telah pernah mendengar istilah “blackhole” (lubang-hitam) dalam
fisika, yaitu “benda” angkasa yang bermassa “sangat-sangat besar” sehingga walaupun
ukurannya kecil secara makroskopis namun gaya gravitasinya luar biasa besar hingga cahaya pun dapat ditariknya! Dulu, orang meyakininya dari perhitungan matematis saja namun sekarang keberadaanya di alam semesta sudah terdeteksi. Namun apa hubungannya dengan matematika?


Sebenarnya masalah ini mungkin sudah akrab bagi siswa dan guru yang menyenangi
teka-teki matematika, namun di sini ditampilkan dalam bahasa yang lebih formal (matematis).
Terinspirasi tulisan Eckert, penulis mendefinisikan sebuah sistem lubang-hitam dalam
matematika. Secara persisnya, kita dapat mendefinisikannya sebagai berikut:
Bila
S = sebuah himpunan (yang didefinisikan dengan jelas, well defined)
b = sebuah elemen dari S, dan
f = sebuah fungsi dari S ke S
maka
(b, S, f) adalah sebuah sistem lubang-hitam matematika bila memenuhi
kedua sifat berikut:
(1). f(b) = b
(2). Untuk setiap x Î S maka terdapat bilangan asli k sedemikian hingga setelah
k iterasi (pengulangan):
f(f(f(….f(x)…))) = b.

Selanjutnya, bilangan b kita sebut saja sebagai lubang-hitam. Perhatikan syarat kedua yang dapat dibaca komposisi k buah fungsi yang sama. Berikut ini beberapa contoh lubang-hitam matematika yang diberikan tanpa bukti. Silakan Anda membuktikannya sendiri.

1. Sistem Lubang-hitam GGT (Genap-Ganjil-Total)
S = himpunan bilangan asli, b = 123 , dan f(x) = a × 10p + b × 10q + c
dengan a = banyak angka genap pada x, q = banyak angka pada bilangan c
b = banyak angka ganjil pada x, p = banyak angka pada bilangan (b × 10q + c)
c = a + b = banyak angka pada x.
maka (S, b, f) sebuah sistem lubang-hitam.
Fungsi f dapat dinyatakan secara sederhana sebagai berikut: susun bilangan baru yang angka-angkanya merupakan gabungan berturut-turut angka-angka dari a, b, dan c.
Contoh. Pilih bilangan 244.
Maka banyak angka genap dari 244 = 3, banyak angka ganjil dari 244 = 0, banyak angka dari 244 = 3. Diperoleh bilangan 303.

Selanjutnya, dari 303 diperoleh bilangan 123. Bila diteruskan, tetap diperoleh bilangan 123. Secara sederhana kita dapat menulis hasil-hasilnya dalam bentuk barisan: 244, 303, 123.

2. Sistem Lubang-hitam 153
S = himpunan bilangan asli kecuali 0, 1, 370, 371, 407 dan bilangan hasil permutasinya.
b = 153, dan f(x) = jumlah pangkat tiga angka-angka penyusun x.
maka (S, b, f) adalah sebuah sistem lubang-hitam.

Contohnya:
pilih bilangan 23400792, maka setelah 9 kali iterasi diperoleh 153.
23400792 => 23 + 33 + 43 + 03 + 03 + 73 + 93 + 23 = 1179
1179 => 13 + 13 + 73 + 93 = 1074
1074 => dan seterusnya.
diperoleh barisan 23400792, 1179, 1074, 408, 576, 684, 792, 1080, 513, 153, 153, ….

Dapat terjadi adanya lubang-hitam ganda (multiple black-hole), yaitu bila b = himpunan bagian dari S. Jadi, terhadap S ada lebih dari satu lubang-hitam yang mungkin terjadi.
Kita dapat pula mendefinisikan lubang-hitam lebih luas lagi, yang kita sebut siklus-hitam (black-loop). Definisi siklus-hitam mirip dengan lubang-hitam hanya saja b bukan elemen atau himpunan bagian tetapi himpunan tuple dari S, karena urutan elemennya diperhatikan. Oleh karena itu lubang-hitam adalah siklus-hitam yang anggotanya satu elemen. Lebih dari itu kita dapat mendefinisikan siklus-hitam ganda (multiple black-loop), yaitu dengan b = koleksi himpunan bagian tuple dari S. Namun tentu saja, jika siklus-hitam yang mungkin terjadi sangat banyak, siklus-hitam ganda itu tidak menarik lagi. Unsur “ajaibnya” akan berkurang.

Berikut ini beberapa contoh siklus-hitam:

1. Sistem siklus-hitam Merdeka
Ini sebuah contoh siklus-hitam temuan penulis sendiri.
S = himpunan bilangan asli, b Î (4, 5), dan
f(x) = banyak huruf dari kalimat berbahasa Indonesia yang menyatakan bilangan x.
maka (S, b, f) adalah sebuah sistem siklus-hitam.

Contoh. Pilih bilangan 756.
TUJUH RATUS LIMA PULUH ENAM => 23, DUA PULUH TIGA => 12 , DUA BELAS => 8 ,
DELAPAN => 7 , TUJUH => 5 , LIMA => 4 , EMPAT => 5
Jadi, 756, 23, 12, 8, 7, 5, 4, 5, 4, 5, 4, … setelah iterasi ke-6 diperoleh (4, 5).

2. Sistem siklus-hitam ganda Steinhaus
S = himpunan bilangan asli empat angka, b = 1 atau b Î (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20), dan f(x) = jumlah kuadrat angka-angka penyusun bilangan x.
maka (S, b, f) adalah sebuah sistem siklus-hitam ganda.

Contoh 1. Pilih bilangan 4363.

Bila hasil-hasil dari f kita urutkan maka 4363, 70, 49, 97, 130, 10, 1, 1, 1, 1,...
Contoh 2. Pilih bilangan 9583.
Bila hasil-hasil dari f kita urutkan maka 9583, 179, 131, 11, 2, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4,16, 37, 58, 89, 145, 42, 20,... berakhir di siklus-hitam.

Sistem Lubang-hitam dan Siklus-hitam yang lain.
Terakhir, di bawah ini diberikan beberapa lubang-hitam atau siklus-hitam. Silakan Anda
mengecek kebenarannya. Sengaja elemen b tidak diberikan. Anda diharapkan dapat
menemukannya sendiri.

1. S = himpunan bilangan 3 angka, b Î {….?} (dua buah lubang-hitam), dan f (x) = selisih bilangan terbesar dan terkecil yang disusun dari angka-angka penyusun x.

2. Mirip 1, hanya S = himpunan bilangan 4 angka. Ada 2 lubang-hitam, dapat Anda temukan?
Dari total 8991 bilangan empat angka, ada 77 bilangan yang menuju lubang-hitam pertama dan sisanya menuju lubang-hitam kedua. Diperlukan sedikit iterasi untuk mendapatkan lubang-hitamnya. Luang-hitam 4 angka termasuk apa yang disebut bilangan Kaprekar.

3. S = himpunan bilangan asli, b = …?? (lubang-hitam tunggal), dan f (x) = x/2 bila x genap,f(x) = 3x + 1 bila x ganjil. Masalah ini mempunyai banyak nama, di sini kita sebut sebagai masalah Collatz karena untuk pertama kali dikemukakan oleh Collatz tahun 1937. Walaupun telah diuji benar hingga bilangan di bawah 1016 namun belum ada bukti matematisnya.
Harap bersabar jika setelah puluhan kali iterasi Anda belum sampai pada lubang-hitam.

4. Mirip masalah Collatz, hanya saja S = himpunan bilangan bulat negatif. Untuk masalah baru ini ternyata merupakan siklus-hitam ganda, yaitu ada 4 siklus-hitam selain {0}. Dapatkah Anda menemukannya? (masing-masing dengan 2, 3, 5, dan 18 elemen bilangan).

5. S = himpunan bilangan 3 angka yang tidak simetris (tidak palindromik), b = …?? (lubanghitam tunggal), dan f (x) = selisih bilangan x dan bilangan yang urutan angka-angkanya kebalikan urutan angka-angka penyusun x.

6. S = himpunan bilangan asli 3 angka, b = …?? (lubang-hitam tunggal), dan f (x) = hasil bagi jumlah seluruh bilangan hasil permutasi angka-angka bilangan x dan jumlah angka-angka bilangan x. Perhatikan bahwa ada tepat 6 buah bilangan hasil permutasi 3 angka. Ini sebuah contoh lubang-hitam dengan nilai k = 1 (yang tetap) untuk setiap x Anggota S.

7. S = himpunan bilangan asli kecuali 0 dan 1, b = ..?? (lubang-hitam tunggal), dan f (x) = jumlah semua angka dari bilangan-bilangan yang merupakan faktor dari bilangan x.

Contoh. f(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, f(11) = 1 + 1 + 1 = 3

Dapatkah Anda menemukan sistem lubang-hitam yang lain? Cobalah.. Hanya pesan penulis,
kalau bisa lubangnya jangan terlalu besar atau terlalu banyak, nanti tidak menarik lagi….

Bahan bacaan:
Ecker, M.W. 2004. Mathemagical Black Holes. Recreational & Educational Computing.
Dan berbagai sumber lainnya.

Oleh :Sumardyono, M.Pd.